Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 2 & - 1 & 3 4 & 5 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & 3 \\ 4 & 5 & 1 \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

1

$1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & 3 5 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 5 & 1 \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element

a_{11}

$a_{11}$ by its cofactor.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & 3 5 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 5 & 1 \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element

a_{12}

$a_{12}$ by its cofactor.

- 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 5 \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 5 \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 5 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 5 \end{array} |$

Étape 2

Évaluez

$| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 5 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- 1 \cdot 1 - 5 \cdot 3) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 5 \end{array} |$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$1 (- 1 - 5 \cdot 3) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 5 \end{array} |$

Étape 2.2.1.2

Multipliez

$- 5$ par

$3$ .

$1 (- 1 - 15) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 5 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Soustrayez

$15$ de

$- 1$ .

$1 \cdot - 16 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 5 \end{array} |$

Étape 3

Évaluez

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 16 - 1 (2 \cdot 1 - 4 \cdot 3) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 5 \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$1 \cdot - 16 - 1 (2 - 4 \cdot 3) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 5 \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez

$- 4$ par

$3$ .

$1 \cdot - 16 - 1 (2 - 12) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 5 \end{array} |$

Étape 3.2.2

Soustrayez

$12$ de

$2$ .

$1 \cdot - 16 - 1 \cdot - 10 + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 5 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 5 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 16 - 1 \cdot - 10 + 1 (2 \cdot 5 - 4 \cdot - 1)$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez

$2$ par

$5$ .

$1 \cdot - 16 - 1 \cdot - 10 + 1 (10 - 4 \cdot - 1)$

Étape 4.2.1.2

Multipliez

$- 4$ par

$- 1$ .

$1 \cdot - 16 - 1 \cdot - 10 + 1 (10 + 4)$

Étape 4.2.2

Additionnez

$10$ et

$4$ .

$1 \cdot - 16 - 1 \cdot - 10 + 1 \cdot 14$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez

$- 16$ par

$1$ .

$- 16 - 1 \cdot - 10 + 1 \cdot 14$

Étape 5.1.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 10$ .

$- 16 + 10 + 1 \cdot 14$

Étape 5.1.3

Multipliez

$14$ par

$1$ .

$- 16 + 10 + 14$

Étape 5.2

Additionnez

$- 16$ et

$10$ .

$- 6 + 14$

Étape 5.3

Additionnez

$- 6$ et

$14$ .

$8$